Question

为什么“f(1+x)=-f(1-x)=-f(x-1),所以f(2+x)=f(x)”

已知偶函数y=f（x）（x∈R）在区间[-1，0]上单调递增，且满足f（1-x）+f（1+x）=0，给出下列判断：
①f（5）=0；
②f（x）在[1.2]上是减函数；
③f（x）的图象关于直线x=1对称；
④函数y=f（x）在x=0处取得最大值；
⑤函数y=f（x）没有最小值（x∈R）．
其中正确论断的序号是（　　）
A．①③④ B．②④⑤ C．①②④ D．③④⑤

由f（1-x）+f（1+x）=0得到f（1+x）=-f（1-x）=-f（x-1），所以f（2+x）=f（x），所以函数的周期是2．
当x=0时，f（1）+f（1）=0，所以f（1）=0，因为f（5）=f（4+1）=f（1）=0，所以①正确．
因为y=f（x）（x∈R）在区间[-1，0]上单调递增，周期为2，所以函数在在区间[1，2]上单调递增，所以②错误．
因为y=f（x）是偶函数，所以f（2+x）=f（x）=f（-x），所以对称轴为x=1，所以f（x）的图象关于直线x=1对称，所以③正确．
因为偶函数y=f（x）（x∈R）在区间[-1，0]上单调递增，则在[0，1]上单调递减，且周期为2，所以y=f（x）在x=0处取得最大值，在x=-1时取得最小值．所以④正确，⑤错误．
故选A．

Answer 1

y=f（x）是偶函数，即：f（x）=f（-x）
由f（1-x）+f（1+x）=0得到
f（1+x）=-f（1-x）=-f（x-1）

后面这步f（1-x）=f（x-1）就是偶函数的特性
接下来，由：f（1+x）=-f（x-1）
令x=t+1，t∈R，则代入上式有f（1+t+1）=-f（t+1-1）即：
f（2+t）=-f（t）
应该有负号才对。