Question

高一数学SOS

已知函数f(x)=（x-1）^2/（x+1）^2 （x>=1） g（x）=1/ f(x)的反函数+根号x+2求f(x)的反函数及其定义域.单调区间.和g（x）的最小值

Answer 1

1.y=f(x)=(x-1/x+1)^2=(x+1-2/x+1)^2=[(x+1/x+1)+(-2/x+1)]^2
=[1-(2/x+1)]^2

f^-1(x)=[2/(1-x^0.5)]-1 (0≤x<1)

2.设0<a<b<1
f^-1(b)-f^-1(a)=[(2/1-b^0.5)-1]-[(2/1-a^0.5)-1]
=2(1-a^0.5)-2(1-b^0.5)/(1-b^0.5)(1-a^0.5)
=2(b^0.5-a^0.5)/(1-b^0.5)(1-a^0.5)

0<a<b<1 ====> (1-a^0.5)>0,(1-b^0.5)>0,(b^0.5>a^0.5)>0
====> f^-1(x)>0 ====> f^-1单调增
g（x）最小值为当x=0是 3