Question

高二数学 急！！！

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)和圆O:x^2+y^2=b^2,过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A,B.
(I)(i)若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e；
(ii)若椭圆上存在点P，使得∠APB=90°，求椭圆离心率e的取值范围；
(II)设直线AB与x轴、y轴分别交于点M,N,求证：a^2/|ON|^2+b^2/|OM|^2为定值.

Answer 1

解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
直线PA的斜率=(yo-y1)/(xo-x1)，直线OA的斜率=y1/x1，因为PA⊥OA，所以两个斜率之积为-1，即
[(yo-y1)/(xo-x1)]*[y1/x1]= -1，化简得x1xo+y1yo= x1²+y1²，
因为A(x1，y1)在圆上，所以x1²+y1²=4，所以上式进一步化简得x1xo+y1yo= 4，即
y1=(4-x1xo)/yo …………①
同理，由PB⊥OB，可得
y2=(4-x2xo)/yo …………②
由两点式得AB的直线方程为(y-y1)/(x-x1)= (y2-y1)/(x2-x1)，将①②代入化简得
AB的直线方程为xox+yoy= 4
(2)由以上AB的直线方程得：点M(4/xo，0)，N(0，4/yo)
S△MON=0.5*|4/xo|*|4/yo|=8/|xoyo|
因为xo²/8+yo²/4=1≥2√[(xo²/8)(yo²/4)]=|xoyo|/2√2,即|xoyo|≤2√2
所以S△MON=8/|xoyo|≥8/2√2=2√2