Question

已知球的半径为r在球内内接一个圆柱，这个圆柱底面半径，高为何值时。它的侧面积的最大值是多少？

Answer 1

试试。
设球内接圆柱的高为x，则该圆柱的底面直径为√（4rr-xx)，侧面积S=πx√（4rr-xx)，SS=ππxx(4rr-xx)，即ππxxxx-4ππxxrr+SS=0。因为xx为实数，所以16ππππrrrr-4ππSS≥0，即SS≤4ππrrrr，又因S,r均为非负数，故S≤2πrr，S的最大值为S=2πrr。把S=2πrr代入ππxxxx-4ππxxrr+SS=0得ππxxxx-4ππxxrr+4ππrrrr=0，xxxx-4xxrr+4rrrr=0，（xx-2rr）（xx-2rr）=0，xx-2rr=0，xx=2rr。又因x≥0，故x=√2×r。
根据以上分析可知，当圆柱的高为√2×r时，圆柱的侧面积最大，为2πrr，这时圆柱的底面直径为√（4rr-xx)=√（4rr-2rr)=√2×r。

Answer 2

设圆柱底面半径为R，高为h。根据题意得：(2R)^2+h^2=(2r)^2=4R^2+h^2根据基本不等式（均值定理）得：4R^2+h^2>=4Rh 且当4R^2=h^2时等号成立
所以4Rh<=4r^2
S侧=2兀Rh=0.5兀（4Rh)<=0.5兀(4r^2) 要想S侧最大则4R^2=h^2即2R=h时S侧最大
所以h^2+h^2=4r^2 得h=根号下2r^2,R=0.5倍的根号下2r^2.

Answer 3

2&r^3(sinx-(sinx)^3)(sinx)^2=1/3(cosx)^2=2/3最大是(4倍跟号3派*r^3)/9