Question

请教线性代数学得好的学霸，这几题怎样做？

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Answer 1

前两个是用行列式两行互换，值反号性质变为主对角线行列式，第一个n应该还要奇偶讨论。

若矩阵A的特征值为λ1，λ2，...，λn，那么|A|=λ1·λ2·...·λn

解答：

|A|=1×2×...×n= n！

设A的特征值为λ，对于的特征向量为α。

则 Aα = λα

那么 (A²-A)α = A²α - Aα = λ²α - λα = (λ²-λ)α

所以A²-A的特征值为 λ²-λ，对应的特征向量为α

A²-A的特征值为 0 ，2，6，...，n²-n

求特征向量

设A为n阶矩阵，根据关系式Ax=λx，可写出(λE-A)x=0，继而写出特征多项式|λE-A|=0，可求出矩阵A有n个特征值（包括重特征值）。将求出的特征值λi代入原特征多项式，求解方程(λiE-A)x=0，所求解向量x就是对应的特征值λi的特征向量。

判断相似矩阵的必要条件

设有n阶矩阵A和B，若A和B相似（A∽B），则有：

1、A的特征值与B的特征值相同——λ(A)=λ(B)，特别地，λ(A)=λ(Λ)，Λ为A的对角矩阵。

2、A的特征多项式与B的特征多项式相同——|λE-A|=|λE-B|。

Answer 2

前两个是用行列式两行互换，值反号性质变为主对角线行列式，第一个n应该还要奇偶讨论
第三张图不知道你问的什么

Answer 3

追问

谢谢