Question

求极限，问题

Answer 1

原式=lim(x→0)[√(1+tanx)-√(1+sinx)]/(tanx-sinx)*(tanx-sinx)/[xln(1+x)-x²]
=lim(ξ→0)1/2√(1+ξ)*lim(x→0)(x³/2)/[-x³/2+o(x³)]
=-1/2
主要综合了极限的四则运算法则,拉格朗日中值定理,泰勒公式及等价无穷小的替换.
首先看到√(1+tanx)-√(1+sinx),就应该想到用拉格朗日中值定理把这个式子转化成f'(ξ)(tanx-sinx),这里f(x)=√(1+x),两个端点分别是sinx和tanx.
然后因为ξ在tanx和sinx之间,当x→0时,tanx和sinx都同时趋于0,那么夹在它们两个之间的ξ也将趋于0.所以先求的是lim(x→0)[√(1+tanx)-√(1+sinx)]/(tanx-sinx)=lim(ξ→0)f'(ξ)=1/2

再求(tanx-sinx)/[xln(1+x)-x²]的极限.分子可以用等价无穷小替换成x³/2,这是常用等价无穷小必须记住.而分母的xln(1+x)-x²不常见,考虑把ln(1+x)用泰勒公式展开.
ln(1+x)=x-x²/2+o(x²),于是xln(1+x)-x²=-x³/2+o(x³)
所以lim(x→0)(tanx-sinx)/[xln(1+x)-x²]
=lim(x→0)(x³/2)/[-x³/2+o(x³)]
=(1/2)/(-1/2+0)
=-1

所以原式极限=1/2*(-1)=-1/2

Answer 2

-1/2
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Answer 3