Question

数列{an}满足a1=1,an+1=(n2+n-λ)an，求λ的取值范围，使得存在正整数m，当n>m时，总有an<0

Answer 1

解：
要使n>m时，恒有an<0，则an应为递减数列。
a(n+1)-an<0
(n^2+n-λ-1)an<0
设从第k项开始，ak开始小于0，a(k-1)>0
[(k-1)^2+(k-1)-λ-1]a(k-1)<0
k^2-k-λ-1<0
k^2+k-λ-1>0
[(k^2-λ-1)+k][(k^2-λ-1)-k]<0
(k^2-λ-1)^2-k^2<0
(k^2-λ-1)^2<k^2
λ>-1

Answer 2

见图片

Answer 3

为打字方便，用y代替λ。

可求得：
a(n)=(n^2+n-y)^(n-1)
即a(n)为等比数列
不能满足题目条件，
因为等比数列要么全为正，
要么为正负交替，
要么全为负（仅在首项为负且公比为正时成立，而本例首项为正）。