Question

椭圆x^2/2+y^2=1,求弦长为2的弦的中点轨迹? (详细过程）谢谢。

Answer 1

设直线:y=kx+d与椭圆曲线相交与A、B两点为A(x1,y1)、B(x2,y2),两点相交的弦长为AB=2，弦的中点为C
弦长AB=│x1-x2│√(k²+1)=│y1-y2│√[(1/k²)+1] =2
弦长AB = √(1+k²)[(x1+x2)² - 4x1x2] = √(1+1/k²)[(y1+y2)² - 4y1y2]=2
弦长AB=√[(1+k²)△/a²] =√(1+k²)√(△)/|a|=2
△为一元二次方程中的 b²-4ac ，a为二次项系数
x1+x2=-b/a x1x2=c/a

│x1-x2│√(k²+1)=│y1-y2│√[(1/k²)+1]
(y1-y2)/(x1-x2)=k
(x1-x2)√(k²+1) = 2，(y1-y2)√[(1/k²)+1]=2

已知椭圆x²/2+y²=1
将A(x1,y1)、B(x2,y2)代入得：
x1²/2+y1²=1，,x2²/2+y2²=1
上式变换为：
x1²+2y1²=2，,x2²+2y2²=2
两式相减，得(x1－x2)(x1＋x2)＋2(y1－y2)(y1+y2)=0