Question

证明xcosx是不是周期函数

Answer 1

解析：观察一些零点：
f(0)=f(π/2)=f(3π/2)=f(5π/2)=0,f(π)=π.
假设f(x)是周期函数，由f(π/2)=f(3π/2)=f(5π/2)=0得到：T=kπ,k∈Z.
通过f(0)=f(π/2)=0
根据周期函数基本特性，T不存在。
所以，不是周期函数。

Answer 2

取x(k)=2kπ,(k=1,2,3,...)的目的是为了说明y=xcosx在(-∞,+∞)内不是有界的。（因为这样就已经找到了一个x->+∞的方式，在这个方式下y=xcosx不是有界的，可以说明x∈R->+∞一定不是有界的。

但是，在找到的这一个x->+∞的方式下y=xcosx->+∞不能说明该函数在x∈R->+∞时也是趋于无穷大。
事实上，该函数在x∈R->+∞时，是没有极限的。你让x(k)=2kπ+π/2->+∞就会发现了它趋于0.由极限的唯一性得到该函数没有极限。

cosx≤1 那他的最大值是1，无论x等于多少
那xcosx最大也就是x了
所以当x→+∞，应该也是正无穷吧