Question

∫sinx／cos^3xdx 用第一类换元法求解

Answer 1

∫sinxdx/cos³x

=-∫d(cosx)/cos³x

=(1/2)∫d(1/cos²x)

=(1/2)*(1/cos²x)+C

=1/(2cos²x)+C

对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化，明朗化，在减少多项式项数,降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用。

引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量(或代数式)，对新的变量求出结果之后，返回去求原变量的结果。

扩展资料：

换元法通过引入新的元素将分散的条件联系起来，或者把隐含的条件显示出来，或者把条件与结论联系起来。 

如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，则积分变上限函数在[a,b]上具有导数。应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y=√1-x^2的值域时，若x∈[-1,1]，设x=sin α ，sinα∈[-1,1 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。

主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x^2+y^2 =r^2（r>0）时，则可作三角代换x=rcosθ、y=rsinθ化为三角问题。

参考资料来源：百度百科——换元法

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

第一类换元法就是凑微分法
∫sinxdx/cos³x
=-∫d(cosx)/cos³x
=(1/2)∫d(1/cos²x)
=(1/2)*(1/cos²x)+C
=1/(2cos²x)+C

追问

解的第二步是如何来的

追答

因为cosx求导=-sinx

所以sinxdx=-d(cosx)

追问

cos^3 咋变成这样cos^2

追答

1/cos²x=(cosx)^(-2)
求导=(-2)*(cosx)^(-3)

1/cos²x=(cosx)^(-2)
求导=(-2)*(cosx)^(-3)*(sinx)

1/cos²x=(cosx)^(-2)
求导=(-2)*(cosx)^(-3)*d(cosx)