Question

三角形ABC中a2+c2=b2+√2ac 求√2×cosA+cosC最大值

Answer 1

依题意，
cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)=√2/2
∴B=45°
∴A=135°-C

√2·cosA+cosC
=-cosC+sinC+cosC
=sinC
≤1
∴√2·cosA+cosC的最大值为1
【C=90°，A=B=45°时取得】

Answer 2

a²+c²=b²+√2ac，
则依余弦定理得
cosb=(a²+c²-b²)/2ac=√2/2
∴b=45°
同时，
√2cosa+cosc
=√2cosa+cos(180°-45°-a)
=√2cosa+cos(135°-a)
=√2cosa+cos135°cosa+sin135°sina
=√2cosa-(√2/2)cosa+(√2/2)sina
=(√2/2)sina+(√2/2)cosa
=sin(a+45°)
∴sin(a+45°)=1，
即a=45°，b=45°，c=90°时，
△abc为等腰直角三角形时，
所求最大值为1。