Question

经典难题：求解微分方程y''=y*y'。

请不要错误地理解我所提出的问题，我的问题的内涵是：函数的二阶导数等于这个函数本身乘以这个函数的一阶导数。这一题有点难度，需要认真解答，答案可能不止一两种，这一题的满分是20分，率先得满分的人，我给60财富值的悬赏，并采纳他（或她）的答案，因为百度协议内要求我20天内采纳一个人的答案，但你们的回答如果都不是正确答案的话，我不能加悬赏值，只能先采纳得分最高的回答。
注意：请给出所有显函数形式的通解！

Answer 1

解析：
用WA解了一下。
见附图

追问

你的答案有遗漏，请再仔细检查一下。

追答

(1) C1=0时，就是y=0
(2) C1≠0时，.......
图片中的答案将二者统一起来了

sorry，
确实遗漏一个答案。
我step-by-step后，发现确实漏了一个

PS：
不能补发图片给你。
私信给你吧

追问

你的答案：7分！因为我的追问不能超过三次，所以如果我未采纳你的答案，说明你的答案还有待改正。

追答

没关系了
祝学业进步

Answer 2

解：微分方程为y"=yy'，化为2y"=2yy'，2y'=y²-a²或2y'=y²+a²(a为任意常数)，2dy/(y²-a²)=dx或2dy/(y²+a²)=dx，dy/(y-a)-dy/(y+a)=adx或2d(y/a)/(y²/a²+1)=adx，ln|(y-a)/(y+a)|=ax+ln|c|(c为任意非零常数)或2arctan(y/a)=ax+2c(c为任意常数)，微分方程的通解为(y-a)/(y+a)=ceᵃˣ或y=atan(ax/2+c)

Answer 3

设y'=p(y),则y''=p'*y'=pp',
代入y''=yy'得pp'=py,
∴p=0或p'=p,
积分得p=c,或p=ce^y,
即y'=c或y'=ce^y,
积分得y=cx+c2或y=-ln(c2-cx).

追问

你的答案有遗漏而且有错误，请再仔细检查一下。你的答案：0分！

追答

设y'=p(y),则y''=p'*y'=pp',
代入y''=yy'得pp'=py,
∴p=0或p'=y,

即y'=0或dp/dy=y,
积分得y=c或y'=p=y^2/2+c,
∴y=c或∫dy/(y^2/2+c)=x+c2,①
对于①，分三种情况：
c=0时-2/y=x+c2,y=-2/(x+c2);
c>0时√(2/c)*arctan[y/√(2c)]=x+c2,
y=√(2c)*tan[(x+c2)√(c/2)];
c<0时1/√(-2c)*ln{[y-√(-2c)]/[y+√(-2c)]}=x+c2,
[y-√(-2c)]/[y+√(-2c)]=e^[(x+c2)√(-2c)],
y={1+e^[(x+c2)√(-2c)]}/{1-e^[(x+c2)√(-2c)]}*√(-2c).

Answer 4

可以参考一下

追问

你的答案有遗漏，请再仔细检查一下。你的答案：7分！

追答

你这人是搞事情！

我们不是解题大师，只是提供参考！
答案还需自寻！

追问

等到我把标准答案公布了，你就没机会答题得悬赏了！请认真答题，我的追问不能超过3次，如果我未采纳你的答案，说明你的答案还有错误，还需改正！

追答

随便你吧，你有毒！！！

Answer 5

y=C1
y=C1x+C2
y=-2ln|x+C1|+C2
y=-2ln|cos(C1x+C2)|+C3
y=-2ln|cosh(C1x+C2)|+C3