Question

定积分奇偶性，（2）（3）为什么等于0

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Answer 1

把它展开就为cos^2x+x^3cos^2x的定积分,因为后一部分为奇函数直接消掉积分出来就是0,则只有cos^2x的积分,化成（cos2x+1）/2的积分,为偶函数,直接就是0到π上的积分的两倍,解得结果为π

追问

那我这个偶函数乘偶函数的思想哪里错了

Answer 2

因为它们的乘积是一个奇函数，而积分区间是对称的，根据正交性得到奇函数在对称区间上定积分值为零

追问

偶函数乘偶函数不是等于偶函数吗

追答

因为k不等于L，所以kx不等于Lx，又k,L都是正整数，所以它们之间肯定相差nx，(n是整数)，当n是奇数时，它两个乘积为奇函数，当n是偶数时乘积也是奇函数，你可以算一下

追问

那我单独看到cos函数 和sin函数，不管后面的自变量，可以默认为，就是偶函数和奇函数吗单独看

追答

如果都是kx或者x的系数相等时可以这样看，否则要具体分析，如果不相等时相当于对它进行了平移，根据图像知道sin和cos经过平移是会相互转化的

追问

所以cos（x－3）不是偶函数了对吗

追答

cos是关于kπ对的，cos(x-π)等于-cosx是偶函数。π＞3所以还没平移到对称点的位置，不关于kπ对称，所以它是非奇非偶函数函数

忘了说了，平移后的新位置它也不关于x对称

也不关于原点对称，

对吗？你再自己想一下

追问

。。

追答

你把它用三角函数公式展开结果也应该是一样的，既有sin,又有cos也可以证明它是非奇非偶函数