Question

高数:一道积分题

1/(ax^2+b)^2的积分?积分表上有最后结果,我纠结了好几天了~望高手解答!谢啦~
没有限定的，积分表上写的是 原式=x/[2b(ax^2+b)] + 1/2b *∫dx/(ax^2+b)
其中∫dx/(ax^2+b)的值需要对b分情况讨论，后面没有问题，主要是原式=x/[2b(ax^2+b)] + 1/2b *∫dx/(ax^2+b)的推导过程，求高手秒掉啊~

Answer 1

分步积分
我们知道，对于u=fg的函数全微分是du=fdg+gdf
所以有gdf=du-fdg，加上积分符号就是∫gdf=∫du-∫fdg=u-∫fdg
具体到你的问题，可以设u=-1/(2ax(ax^2+b))，其中f=1/[(ax^2+b)]，g=-1/2ax
顺便说一句，你的题目出自课本还是练习，还是参考数啥的？管他出自哪里，肯定是本烂书，根本不想让你搞明白。
原式=∫-1/2ax*d(1/ (ax^2+b))=-1/(2ax*(ax^2+b))-1/2∫1/(ax^2*(ax^2+b))*dx
=-1/(2ax*(ax^2+b))-1/(2b)∫1/ax^2-1/(ax^2+b)dx=1/2b *∫dx/(ax^2+b)+1/2abx-1/2ax(ax^2+b)
其中1/2abx-1/2ax(ax^2+b)化简后就是x/[2b(ax^2+b)]

Answer 2

应该有a和b的限定吧，假设两者均大于0，用三角函数代换，
设x=(b开方/a开方)tant