Question

线性代数 向量组a1,a2,a3线性无关，证明：向量组a1+a2,a2+a3,a3+a1也线性无关

线性代数
向量组a1,a2,a3线性无关，证明：向量组a1+a2,a2+a3,a3+a1也线性无关利用矩阵秩的性质做，不需要其他方法

Answer 1

假设：a1＋a2、a2＋a3、a3＋a1是线性相关的，则：

a3＋a1=m(a1＋a2)＋n(a2＋a3)

(m－1)a1＋(m＋n)a2＋(n－1)a3=0

因a1、a2、a3线性无关，则：

m－1=0且m＋n=0且n－1=0

但这个方程组无解，从而有：

a1＋a2、a2＋a3、a3＋a1是线性无关的。

线性方程形式

形为 ax+by+...+cz+d=0 ，关于x、y的线性方程，是指经过整理后能变形为ax+by+c=0的方程（其中a、b、c为已知数，a、b不同时为0）。一元线性方程是最简单的方程，其形式为ax=b。因为把一次方程在坐标系中表示出来的图形是一条直线，故称其为线性方程。

Answer 2

用矩阵的秩证明

线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中

通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。在解析几何里，平面上直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线视为两个平面相交，由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。

Answer 3

如图，用矩阵的秩证明！

如图，如有疑问或不明白请追问哦！

追答

向量组的秩=向量组的"极大线性无关组"的向量个数
而极大线性无关组内任何向量都线性无关。
所以一共3个向量，秩也为3，只能3个向量都线性无关哦！