Question

如何证明根号2和根号3是无理数

Answer 1

√2是无理数欧几里得《几何原本》中的证明方法：证明:√2是无理数假设√2不是无理数∴√2是有理数令 √2=p/q (p、q互质)。

分别表示3的平方根、4次方根、立方根。到十六世纪初，可能是书写快的缘故，小点上带了一条细长的尾巴，变成“ √￣”。1525年，路多尔夫在他的代数著作中，首先采用了根号，比如他写4是2，9是3。

古时候，埃及人用记号“┌”表示平方根。印度人在开平方时，在被开方数的前面写上ka。阿拉伯人用 表示 。1840年前后，德国人用一个点“．”来表示平方根，两点“．．”表示4次方根，三个点“．．．”表示立方根。

Answer 2

√2是无理数
欧几里得《几何原本》中的证明方法：
证明:√2是无理数
假设√2不是无理数
∴√2是有理数
令 √2=p/q (p、q互质)
两边平方得：
2=(p/q)^2
即：
2=p^2/q^2
通过移项,得：
2q^2=p^2
∴p^2必为偶数
∴p必为偶数
令p=2m
则p^2=4m^2
∴2q^2=4m^2
化简得：
q^2=2m^2
∴q^2必为偶数
∴q必为偶数
综上,q和p都是偶数
∴q、p互质,且q、p为偶数
矛盾 原假设不成立
∴√2为无理数
√3类似证明方法

Answer 3

这要用到一个重要结论：任何有理数都可以表示成 p/q 的形式，其中 p、q 是不可约分的整数。
用反证法。假设 √2 是有理数，则存在不可约分的两个整数 p、q 使 √2 = p/q，
平方后去分母得 2q^2 = p^2，
左边是偶数，则右边也是偶数，因此 p 为偶数，设 p = 2m，
代入可得 q^2 = 2m^2，右边是偶数，则左边也是偶数，所以 q 是偶数，
这样一来，p、q 都是偶数，就可以用 2 约分，
与假设矛盾，所以 √2 不是有理数。（不是有理数当然就是无理数）

Answer 4

假设根号2是有理数
有理数可以写成一个最简分数
及两个互质的整数相除的形式
即根号2=p/q
pq互质
两边平方
2=p^2/q^2
p^2=2q^2
所以p^2是偶数
则p是偶数
令p=2m
则4m^2=2q^2
q^2=2m^2
同理可得q是偶数
这和pq互质矛盾
所以假设错误
所以根号2是无理数