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解：分享一种解法。利用“欧拉公式【e^(ix)=cosx+isinx】”和“标准状态分布N(0,1)的密度函数的性质”求解。
①设I1=∫(-∞,∞)dy∫(-∞,∞)e^(-x²-y²)cos(x²+y²)dx，I2=∫(-∞,∞)dy∫(-∞,∞)e^(-x²-y²)sin(x²+y²)dx。∴I=I1+iI2=∫(-∞,∞)e^(-y²+iy²)dy∫(-∞,∞)e^(-x²+ix²)dx。
②若X~N(0,1)，其密度函数f(x)=[1/√(2π)]e^(-x²/2)，∴∫(-∞,∞)f(x)dx=1。∴∫(-∞,∞)e^(-x²/2)dx=√(2π)。∴∫(-∞,∞)e^(-αx²)dx=√(π/α)，其中丨α丨>0。
而，∫(-∞,∞)e^(-y²+iy²)dy=∫(-∞,∞)e^[(-(1-i)y²]dy=√[π/(1-i)]，同理，∫(-∞,∞)e^(-x²+ix²)dy=√[π/(1-i)]。
∴I=π/(1-i)=π(1+i)/2。∴原式=I1=π/2。
供参考。
①设I1=∫(-∞,∞)dy∫(-∞,∞)e^(-x²-y²)cos(x²+y²)dx，I2=∫(-∞,∞)dy∫(-∞,∞)e^(-x²-y²)sin(x²+y²)dx。∴I=I1+iI2=∫(-∞,∞)e^(-y²+iy²)dy∫(-∞,∞)e^(-x²+ix²)dx。
②若X~N(0,1)，其密度函数f(x)=[1/√(2π)]e^(-x²/2)，∴∫(-∞,∞)f(x)dx=1。∴∫(-∞,∞)e^(-x²/2)dx=√(2π)。∴∫(-∞,∞)e^(-αx²)dx=√(π/α)，其中丨α丨>0。
而，∫(-∞,∞)e^(-y²+iy²)dy=∫(-∞,∞)e^[(-(1-i)y²]dy=√[π/(1-i)]，同理，∫(-∞,∞)e^(-x²+ix²)dy=√[π/(1-i)]。
∴I=π/(1-i)=π(1+i)/2。∴原式=I1=π/2。
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