Question

高中数学，求过程。

Answer 1

如图：解：因为直线AB：y=cx/b...(1), 是点F和E的对称轴；所以，EF⊥AB; 直线EF：y=-bx/c+m; 其过点F（c，0); 有：0=-b*c/c+m, m=b; EF: y=-bx/c+b...(2); 则：E点在y轴上坐标（0，b）；

求EF和AB的交点D,(1)-(2),得：cx/b+bx/c-b=0;  (c^2+b^2)x=b^2c; x=b^2c/ (c^2+b^2), 代入(1),得:y=c/b*b^2c/ (c^2+b^2)=bc^2/a^2; 点D坐标(b^2c/a^2,bc^2/a^2);

S△OEF=2S△ODF=2*1/2*c*bc^2/(c^2+b^2)=b*c^3/a^2=1/2*bc....(3);即：b*c^3/a^2-1/2*bc=0；

方程两边同时乘以2a^2，得：2b*c^2-*bca^2=bc(2c^2-a^2)=0,  bc≠0，a^2=2c^2=b^2+c^2...(4); 得： b^2=c^2....(5);  由L得：x=2√2-√2y; 代入椭圆方程,b^2(2√2-√2y)^2+a^2y^2-(ab)2=0;结合(4)和(5)。b^2*(8-8y+2y^2)+2b^2y^2-4b^4=0, 等式两边同时除以4b^2,得：y^2-2y+2(1-b^2)=0; 因为P是切点，y只能有两个相等的根。则2(1-b^2)=1,解得：b^2=1=c^2; a>b>0,c>0; 所以b=c=1;  代入（3），得：S△OEF=1/2*bc=1/2。填空：1/2。

Answer 2

过F，向y=cx/b作垂线，垂足G，
S△OEF=2S△OGF（对称）=2.OF.yG/2=cyG；
FG方程：y=（-b/c）（x-c）
cx/b=（-b/c）（x-c）
c²x=-b²x+b²c，（c²+b²）x=b²c，xG=b²c/a²
yG=（b²c²）/（a²b）=bc²/a²
S△OEF=cyG=bc³/a²=bc（c²/a²）
F的对称点E与F的中点是G，∴
xE=2xG-xF=2b²c/a²-c
yE=2yG=2bc²/a²
E在椭圆上：
（2b²c/a²-c）²/a²+（2bc²/a²）²/b²=1
（2b²c/a²-c）²/a²+4c^4/a^4=1
（2b²c/a²-c）²+4c^4/a²=a²
c²（2b²-a²）²/a^4+4c^4/a²=a²
c²（2b²-a²）²+4c^4a²=a^6
x=√2（2-y）
平方：
x²=2（4-4y+y²）
2b²（4-4y+y²）+a²y²=a²b²
（2b²+a²）y²-8b²y+8b²-a²b²=0
Δ=64b^4-4（2b²+a²）(8b²-a²b²)=0
16b²-（2b²+a²）(8-a²)=0
16b²-16b²+2a²b²-8a²+a^4=0
2a²b²-8a²+a^4=0
2b²-8+a²=0，2b²+a²=8
a²=8-2b²
c²=a²-b²=8-3b²
c²（2b²-a²）²+4c^4a²=a^6
(8-3b²)（2b²-8+2b²）²+4（8-3b²）²（8-2b²）=（8-2b²）³
2(8-3b²)（b²-2）²+（8-3b²）²（4-b²）=（4-b²）³
2(8-3b²)（b²-2）²=（4-b²）（（4-b²）²-（8-3b²）²）
2(8-3b²)（b²-2）²=（4-b²）（12-4b²）（-4+2b²）
(8-3b²)（b²-2）²=（4-b²）（12-4b²）（-2+b²）
b²=2，b=√2，或者：
(8-3b²)（b²-2）=（4-b²）（12-4b²）
14b²-16-3b^4=48-28b²+4b^4
7b^4-42b²+64=0
Δ=（-42）²-4×7×64=-28<0,无解
a²=8-2b²=8-2×2=4，a=2
c²=a²-b²=4-2=2
c=√2

S△OEF=cyG=bc³/a²=bc（c²/a²）
=√2×√2（2/4）=1

Answer 3

有个笨办法，计算太复杂：
把与椭圆相切的直线写成y=kx+b的形式，代入椭圆方程，得到一个关于x的一元二次方程，因直线与椭圆相切，故此方程有唯一解，其判别式△=0，可以得到一个只含a、b的代数式；
把上述直线写成x=ky+b的形式，重复前面的步骤，可以得到另一个体现a、b关系的代数式。
两式联立可以求出a、b各自的平方值，即，得到椭圆方程。
求出c，得到F坐标，求出E坐标，……