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求微分方程 x²y''+xy'=1的通解
解：设y'=dy/dx=p，则y''=dy'/dx=dp/dx；
代入原式得：x²(dp/dx)+xp=1..........①;
先求齐次方程：x²(dp/dx)+xp=0的通解：
分离变量得：dp/p=-dx/x；积分之得：lnp=-lnx+lnc₁=ln(c/x);
故p=c/x；将c换成x的函数u，得p=u/x......②；故p'=dp/dx=(xu'-u)/x².........③
将②③代入①式并化简得：xu'=1，即u'=1/x，即du=dx/x；故u=lnx+lnc₁=ln(c₁x).........④;
将④代入②式得：p=(1/x)ln(c₁x)，即dy/dx=(1/x)ln(c₁x); dy=(1/x)ln(c₁x)dx;
积分之即得通解：y=∫(1/x)ln(c₁x)dx=∫ln(c₁x)d(lnc₁x)=(1/2)ln²(c₁x)+c₂;
解：设y'=dy/dx=p，则y''=dy'/dx=dp/dx；
代入原式得：x²(dp/dx)+xp=1..........①;
先求齐次方程：x²(dp/dx)+xp=0的通解：
分离变量得：dp/p=-dx/x；积分之得：lnp=-lnx+lnc₁=ln(c/x);
故p=c/x；将c换成x的函数u，得p=u/x......②；故p'=dp/dx=(xu'-u)/x².........③
将②③代入①式并化简得：xu'=1，即u'=1/x，即du=dx/x；故u=lnx+lnc₁=ln(c₁x).........④;
将④代入②式得：p=(1/x)ln(c₁x)，即dy/dx=(1/x)ln(c₁x); dy=(1/x)ln(c₁x)dx;
积分之即得通解：y=∫(1/x)ln(c₁x)dx=∫ln(c₁x)d(lnc₁x)=(1/2)ln²(c₁x)+c₂;
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