Question

一道高数题 麻烦看下？

没有思路 麻烦大佬看下 谢谢了

Answer 1

拆成两部分，前面那部分1/2^n是等比数列的和，首项是1/4, 公比是1/2， 趋于无限时结果是1/4/（1-1/2）=1/2。

后面可以每项拆成1/(n-1)-1/(n+1)，这个式子的一半，然后变成

1-1/3+1/2-1/4+1/3-1/5+…+1/(n-1)-1/(n+1), 这个式子的一半，可以看到除了1和1/2，其它的都可以相反数相加得0，而当n趋于无穷时，最后就算有剩项，也都是0，所以这个部分得3/4,

结果就是1/2-3/4=-1/4.

Answer 2

你把1/(n^2-1)拆成1/(n+1)(n-1)=(1/(n-1)-1/(n+1))/2，就可以发现可以错位相消了，然后第一项的1/2^n就是个等比数列求和，高中知识就可以求解

Answer 3

∑(n:2->∞) [ 1/2^n -1/(n^2-1) ]

=∑(n:2->∞) 1/2^n - ∑(n:2->∞) 1/(n^2-1)
= 1/2 - ∑(n:2->∞) 1/(n^2-1)
= 1/2 - (1/2)∑(n:2->∞) [1/(n-1) -1/(n+1) ]
=1/2 - (1/2) lim(n->∞) { (1-1/3)+(1/2-1/4) +(1/3 -1/6) +...+ [1/(n-1) -1/(n+1) ] }
=1/2 - (1/2) lim(n->∞) [ 1+1/2 -1/n -1/(n+1) ]
=1/2 -(1/2)(3/2)
=1/2 - 3/4
=-1/4

追问

您好
∑(n:2->∞) 1/2^n 为什么会等于1/2了呢? 这个不太懂

追答

等比数列，q=1/2 , a1=1/4
∑(n:2->∞) 1/2^n

=(1/4)/( 1- 1/2)
=1/2

等比数列，q=1/2 , a1=1/4
∑(n:2->∞) 1/2^n

=(1/4)/( 1- 1/2)
=1/2

Answer 4

追答

麻烦采纳，谢谢