Question

利用柱面坐标计算积分

这道题怎么做？用球面坐标做，标题写错了

Answer 1

将三重积分直角坐标形式化为柱坐标形式来计算． 变量之间转化为： x＝rcosθ y＝rsinθ z＝z ，0≤r≤1，0≤θ≤2π，0≤z≤ 1?r2 面积微元dv=dxdydz=rdrdθdz， 故所求三重积分 = ∫ 2π 0 dθ ∫ 1 0 rdr ∫ 1?r2 0 zdz = π 4 ．

Answer 2

I = ∫∫∫<Ω>y^2dxdydz, 化球面坐标
= ∫<0, π>dφ∫<0,2π>dθ∫<a, b>r^2(sinφ)^2(sinθ)^2 r^2sinφ dr
= ∫<0, π>[(sinφ)^3]dφ∫<0, 2π>(sinθ)^2dθ∫<a, b>r^4dr
= ∫<0, π>[-(sinφ)^2]dcosφ∫<0, 2π>(1/2)(1-cos2θ)dθ [r^5/5]<a, b>
= (1/10)(b^5-a^5) ∫<0, π>[(cosφ)^2-1]dcosφ [θ-(1/2)sin2θ]<0, 2π>
= (π/5)(b^5-a^5) [(1/3)(cosφ)^3-cosφ]<0, π> = (4π/15)(b^5-a^5)

追问

θ，φ和r的变化范围是多少

这个的结果怎么算出来是4/3，Φ的变化范围不是0到π吗？不是应该是2/3吗

追答

[(1/3)(cosφ)^3-cosφ] = -1/3 + 1 - 1/3 + 1 = 4/3

Answer 3

追问

用球面坐标方法怎么做