Question

高等数学问题，求解，谢谢，有答案看不懂，定积分证明

答案虽然简短一行，但一点都看不懂………谢谢解答。cosx咋没了？

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Answer 1

(sinx)^n(cosx)^n=(sinxcosx)^n=2^(-n)(2sinxcosx)^n=2^(-n)(sin2x)^n
则∫(sinx)^n(cosx)^ndx=∫2^(-n)(sin2x)^ndx
凑微分
2^(-n-1)∫(sin2x)^nd2x
令t=2x， 则积分区间变为：
x=0, t=0,
x=π/2, t=π
所以，原式=2^(-n-1)∫(0,π)(sint)^ndt
=∫(0,π)sint^ndt=∫(0,π/2)sint^ndt+∫(π/2,π)sint^ndt
对第2个积分,设xt=π-m ,则dt=-dm
t积分区间：π/2,到π,
m从π/2,到0, 于是：
∫(π/2,π)sint^ndx=-∫(π/2,0)sin(π-m)^ndm=∫(0,π/2)sinm^ndm=∫(0,π/2)sinm^ndm
所以：
∫(0,π)sint^ndt=2∫(0,π/2)sint^ndt
所以：∫（0, π/2）(sinx)^n(cosx)^ndx=2∫(0,π/2)2^(-n)(sin2x)^ndx