Question

设a,b,c是实数，且a+b+c=1,求证：a2+1,b2+1,c2+1的倒数的和小于等于2.7

Answer 1

阳光从在风雨后，你好：
高中的几个均值不等式，即当 a>0,b>0时， 2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤√(a^2+b^2)/2
另外，因为本题并没有a,b,c为正数的条件，不好直接用以上均值不等式，均值不等式的条件是，一正，二定，三相等，此题只有个二定，所以不好直接运用，但此题是个对称式，另外有：
1/（a^2+1）=1/[1-(-a^2)]=1-a^2+a^4-a^6+a^8+----+(-1)^n *a^(2n) 即无穷多项等比数列之和的逆展开，此数列首项为1，公比为-a^2。同理展开1/(b^2+1),1/(c^2+1)，三式相加。
得到
1/（a^2+1+1/(b^2+1)+1/(c^2+1)≤3-(a^2+b^2+c^2)≤3-(a+b+c)^2/3=3-1/3≤2.7,

我的上面的证法是错的，我要再考虑，另外，因为这是个对称形式，也就是轮换不等式。轮换不等式其实就是一种具有对称性质的不等式，在不等式中，变量的“地位”是平等的，这点在求不等式的某些性质的时候是非常有用的。
例如：a^2+b^2+c^2≤3,求a＋b＋c的最大值和最小值，
利用轮换对称思想，我们可以猜想，最值一定是在a＝b＝c的时候取到！！于是可以知道：当a＝b＝c＝－1时，有最小值－3，当a＝b＝c＝1时，有最大值3

此题也一样，显然当a=b=c时，才有最大值，此时a=b=c=1/3,代入原式中，得最大值为2.7. 求最值容易，就是相等时有最值，但证明的过程却难，楼上的，平方均值不满足定值啊。 这题起码是至少是国家级数学竞赛的水平。

★★★★★★★★★★正确证法如下：
算了，我先暂时放弃，我会回来的。我就不信了！！！等我想通了上来修改。

Answer 2

m=1/(a^2+1); n=1/(b^2+1); l=1/(c^2+1)
算术平均数:A=(m+n+l)/3
平方平均数:Q=√[m^2+n^2+l^2)/3]
A≤Q 当且仅当m=n=l 时取等号
即 a=b=c=1/3时取等号,此时m=n=l=0.9, m+n+l=2.7
所以a2+1,b2+1,c2+1的倒数的和小于等于2.7

Answer 3

a²+b²+c²≥ab+bc+ca(a,b,c为实数)
(a²+b²+c²)／3≥[（a+b+c）／3]²
有题知a+b+c=1得a²+b²+c²≥1／3。当且仅当a²=b²=c²=1／9时取等号。
则a²+1+b²+1+c²+1≥10／3,当且仅当a²+1=b²+1=c²+1=10／9时取等号。
则1／（a²+1）+1／（b²+1）+1／（c²+1）≤9／10+9／10+9／10＝2.7。
当且仅当1／（a²+1）=1／（b²+1）=1／（c²+1）=9／10时取等号。