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一、数列{an}收敛 完全等价于<=> 数列{an}当n→+∞时极限存在。
简单解释：数列an一直往下数，其值趋势于固定在某个值A的附近，而且n越大an的值越接近于A，而且不会有n为很大的数时周期性偏离A这种情况。
举例：an=1/n，即{an}={1,1/2,1/3,......,1/n,...}
越到后面1/n越小，最后1/∞（∞即无穷大）=0，所以数列{an}收敛于0。也可以说数列{an}在n→∞的极限为0。
举个偏离的例子，即看似收敛，其实不是收敛。
如bn=1+(-1)^n + 1/n，其中1/n是会越来越小，但是1+(-1)^n=0,1,0,1,0,....,虽然n为大奇数时bn很接近0，但n为偶数时bn=1+（-1）^偶数+1/n=1+1/n>1离0还远着呢！所以bn是不收敛的！
二、{an}有界是收敛的前提，但有界不一定收敛。有界指的是an的绝对值一定会小于某个定值，即|an|<M。
距离an=n就是无界，因为只要往后数，多大的数an都能取得到，所以不存在|an|<M。
三、f(x)是函数，要跟上面的数列分开讨论。f(x)有界也是一样道理，无论x怎么取，|f(x)|总是<M（常数），就叫f(x)有界。
学高数要通过做题实战练习，这些内容本应你自己上课听讲和理解的，我这么说也只能帮助你理解，还有要练一练才知道掌握了没有。希望能帮助到你。
简单解释：数列an一直往下数，其值趋势于固定在某个值A的附近，而且n越大an的值越接近于A，而且不会有n为很大的数时周期性偏离A这种情况。
举例：an=1/n，即{an}={1,1/2,1/3,......,1/n,...}
越到后面1/n越小，最后1/∞（∞即无穷大）=0，所以数列{an}收敛于0。也可以说数列{an}在n→∞的极限为0。
举个偏离的例子，即看似收敛，其实不是收敛。
如bn=1+(-1)^n + 1/n，其中1/n是会越来越小，但是1+(-1)^n=0,1,0,1,0,....,虽然n为大奇数时bn很接近0，但n为偶数时bn=1+（-1）^偶数+1/n=1+1/n>1离0还远着呢！所以bn是不收敛的！
二、{an}有界是收敛的前提，但有界不一定收敛。有界指的是an的绝对值一定会小于某个定值，即|an|<M。
距离an=n就是无界，因为只要往后数，多大的数an都能取得到，所以不存在|an|<M。
三、f(x)是函数，要跟上面的数列分开讨论。f(x)有界也是一样道理，无论x怎么取，|f(x)|总是<M（常数），就叫f(x)有界。
学高数要通过做题实战练习，这些内容本应你自己上课听讲和理解的，我这么说也只能帮助你理解，还有要练一练才知道掌握了没有。希望能帮助到你。
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