Question

求问第八题，要给出完整过程，越详细越好，谢谢

对于奇偶性的定积分不太会

Answer 1

(8)
f(x) =x/[1+(cosx)^2]
f(-x) = -f(x)
∫(-π->π) x(1+sinx)/[1+(cosx)^2] dx
=∫(-π->π) x/[1+(cosx)^2] dx +∫(-π->π) xsinx/[1+(cosx)^2] dx
=0+∫(-π->π) xsinx/[1+(cosx)^2] dx
=2∫(0->π) xsinx/[1+(cosx)^2] dx
= (1/2)π^2
consider
let
u=π-x
du =-dx
x=0, u=π
x=π, u=0
∫(0->π) xsinx/[1+(cosx)^2] dx
=∫(π->0) { (π-u)sinu/[1+(cosu)^2] } ( -du)
=∫(0->π) (π-x)sinx/[1+(cosx)^2] dx
2∫(0->π) xsinx/[1+(cosx)^2] dx
=∫(0->π) πsinx/[1+(cosx)^2] dx
= -π [arctan(cosx)]|(0->π)
=(1/2)π^2

追问

=∫(-π->π) x/[1+(cosx)^2] dx为啥这个为0

追答

x/[1+(cosx)^2] 是奇函数

追问

2∫(0->π) xsinx/[1+(cosx)^2] dx，什么时候x可以被提出来做pai/2

追答

let
u=π-x
du =-dx
x=0, u=π
x=π, u=0
∫(0->π) xsinx/[1+(cosx)^2] dx
=∫(π->0) { (π-u)sinu/[1+(cosu)^2] } ( -du)
=∫(0->π) (π-x)sinx/[1+(cosx)^2] dx
2∫(0->π) xsinx/[1+(cosx)^2] dx
=∫(0->π) πsinx/[1+(cosx)^2] dx
= -π [arctan(cosx)]|(0->π)
=(1/2)π^2

追问

这个我会算，我想问的是，每次都要这样算么，因为我看这个题的讲解是，sinx没问题，cosx是偶次，所以x可以被提出来pai/2，我不明白这个是咋判断出来的

追答

所以x可以被提出来pai/2，是基于这下列的计算， 谁可以一眼就知道！

let
u=π-x
du =-dx
x=0, u=π
x=π, u=0
∫(0->π) xsinx/[1+(cosx)^2] dx
=∫(π->0) { (π-u)sinu/[1+(cosu)^2] } ( -du)
=∫(0->π) (π-x)sinx/[1+(cosx)^2] dx
2∫(0->π) xsinx/[1+(cosx)^2] dx
=∫(0->π) πsinx/[1+(cosx)^2] dx
= -π [arctan(cosx)]|(0->π)
=(1/2)π^2

追问

我知道 基于这个公式，可是老师讲的就是，sinx/[1+(cosx)^2]这个 sinx没问题，cosx次数是偶次方，所以x可以被提出来，我想问的是，为啥因为这些x可以提出来，考试的时候哪儿有功夫写这么多