Question

已知函数f(x)对任意的x,y属于R,总有f(x)+f(y)=f(x+y) 求该函数奇偶性

Answer 1

这样多的题目这么少的分，也只有我这种不要分的人来帮你做了！！
1)证明：
设x2>x1,则x2-x1>0,根据当x>0时,f(x)<0，有f(x2-x1)<0
而f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)
即f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)<0说明函数是减函数！
2)再来证明函数的奇偶性！
令x=y=0,则f(0)=2f(0)故f(0)=0
令x+y=0,x,y不为0，有y=-x
则有f(0)=f(x)+f(-x)=0说明f(x)=-f(-x)函数是奇函数！！
图像关于原点对称！只需求出在[0,3]上的最值即可求出整个区间的最值！
注意到函数是减函数，于是只需求出f(0),f(3)(f(0)已经求出)
令x=y=1则f(2)=2f(1)=2*(-2/3)=-4/3
令x=1,y=2则f(3)=f(1)+f(2)=-4/3-2/3=-2
根据奇函数f(x)=-f(-x)有f(-3)=-f(3)=2
故f(x)在[-3,3]上的最大值为2最小值为-2

Answer 2

解：已知函数f(x)对任意的x,y属于R,总有f(x)+f(y)=f(x+y)，
则当x=y=0时，有f(0)+f(0)=f(0+0)=f(0)，即得f(0)=0；
于是对任意的x属于R，可得f(x)+f(-x)=f(x+(-x))=f(0)=0，即有f(-x)=-f(x)，
故知f(x)是
奇函数
.