Question

已知曲线C的参数方程为x=2+cosθy=sinθ（θ为参数）．（Ⅰ）已知在极坐...

已知曲线C的参数方程为x=2+cosθy=sinθ（θ为参数）． （Ⅰ）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，π3），写出曲线C的极坐标方程和点P的直角坐标； （Ⅱ）设点Q（x，y）是曲线C上的一个动点，求t=x+y的最小值与最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）将点P(4，π3)化为直角坐标为P(4cosπ3，4sinπ3)，即P(2，23)，
由曲线C的参数方程x=2+cosθy=sinθ（θ为参数）．利用sin2θ+cos2θ=1可得：
曲线C的直角坐标方程（x-2）2+y2=1，
把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上述方程可得：曲线C的极坐标方程ρ2-4ρcosθ+3=0．
（Ⅱ）∵点Q在曲线C上，故可设点Q（2+cosθ，sinθ），
∴t=x+y=2+cosθ+sinθ=2+2sin(θ+π4)．
∵sin(θ+π4)∈[-1，1]，
∴t最大=2+2，t最小=2-2．