Question

设直线x+2y+4=0和圆x2+y2-2x-15=0相交于点A,B。()求玄AB的垂直平分线方程，()求玄AB的长。

Answer 1

解：（1）圆的方程配方得：(x-1)²+y²=16，则可知圆心坐标为(1,0)，半径r=4
已知直线x+2y+4=0和圆交于点A.B，则由垂径定理可知：
弦AB的垂直平分线必过圆心(1,0)
又易得直线AB的斜率-1/2，则其垂直平分线的斜率为2
所以由直线的点斜式方程，可得：
弦AB的垂直平分线的方程为y=2(x-1)即2x-y-2=0
（2）设弦AB长为L
由（1）可得：圆心(1,0)到直线AB：x+2y+4=0的距离
d=|1+4|/√5=√5
因为r²=d²+(L/2)²，所以：
(L/2)²=r²-d²=16-5=11
解得L=2√11
所以弦AB的长为2√11

Answer 2

1）把x=-2y-4
代入圆方程x²+y²-2x-15=0
整理得5y²+20y+9=0，设点A（x1，y1）、B（x2，y2），于是知

y1+y2=-4，x1+x2==-2（y1+y2）-8=0，即弦AB的中点坐标为M（0，-2），又直线x+2y+4=0的斜率为-1/2

所以弦AB的垂直平分线方程为y=2x-2，即2x-y-2=0；

2）已知圆心C（1，0），CM²=5，CA²=16，所以MA²=11，故弦AB的长为2√11.