Question

请问函数在某点可导能否推出在该点的某邻域连续，谢谢！ 正确如何证明呢？错误请举反例。

Answer 1

不是。
首先，函数在点x0处可导，则函数在点x0处连续。进而存在一个x0的邻域，函数在这个邻域内连续。注意“存在”二字。
其次，可以认为邻域是一个微观的概念。邻域的半径是不确定的，一般认为很小很小（甚至可以认为比任意的具体的正实数都要小，但是一个正数），只是一个定性的描述。通俗地，可以想象，可以保证在一个半径很小很小的邻域连续，能保证在半径稍大一点的邻域连续吗？显然不一定。
最后，举反例。对于函数y=1/x,在x=1/200处是可导的，在邻域（1/200-1/200,1/200+1/200)是连续的，但是在邻域（1/200-1/100,1/200+1/100)是不连续的。前者半径1/200,后者半径1/100.