Question

设数列,,满足:,,证明:为等差数列的充分必要条件是为等差数列且

设数列,,满足:,, 证明:为等差数列的充分必要条件是为等差数列且

Answer 1

本小题主要考查等差数列,充要条件等基础知识,考查综合运用数学知识分析问题,解决问题的能力.理解公差的涵义,能把文字叙述转化为符号关系式.利用递推关系是解决数列的重要方法,要求考生熟练掌握等差数列的定义,通项公式及其由来.
证明:(必要性)设是公差为的等差数列,则所以成立.又(常数)所以数列为等差数列.(充分性)设数列是公差为的等差数列,且-得从而有-得,,,由得,由此不妨设则(常数).由此从而,两式相减得因此(常数)所以数列公差等差数列.综上所述::为等差数列的充分必要条件是为等差数列且
有关充要条件的证明问题,要分清哪个是条件,哪个是结论,由"条件"结论"是证明命题的充分性,由"结论","条件"是证明命题的必要性.证明要分两个环节:一是充分性;二是必要性.