Question

已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x-b|+c的最小值为4...

已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x-b|+c的最小值为4． （1）求a+b+c的值； （2）求14a2+19b2+c2的最小值为．

Answer 1

解：（1）因为f（x）=|x+a|+|x-b|+c≥|（x+a）-（x-b）|+c=|a+b|+c，
当且仅当-a≤x≤b时，等号成立，
又a＞0，b＞0，所以|a+b|=a+b，
所以f（x）的最小值为a+b+c，
所以a+b+c=4；
（2）由（1）知a+b+c=4，由柯西不等式得，
（14a2+19b2+c2）（4+9+1）≥（a2•2+b3•3+c•1）2=（a+b+c）2=16，
即14a2+19b2+c2≥87
当且仅当12a2=13b3=c1，即a=87，b=187，c=27时，等号成立．
所以14a2+19b2+c2的最小值为87．