Question

求二重积分?

Answer 1

Answer 2

请点击输入图片描述D={(x，y)∣x²+y²≦y}

积分域 D={(x,y)∣x²+y²≦y}={(x,y)∣x²+(y-1/2)²≦(1/2)²};

即积分域D是一个圆心在(0，1/2)，半径R=1/2的园(如上图）；

化为极坐标，则积分域D<r,θ>={(r，θ)∣0≦θ≦π；0≦r≦sinθ}；故：

<D>∫∫(x+y+1)dxdy=【D<r,θ>】∫∫(rcosθ+rsinθ+1)rdrdθ

=∫<0,π>dθ∫<0,sinθ>[r²(cosθ+sinθ)+r]dr

=∫<0,π>[(1/3)r³(cosθ+sinθ)+(1/2)r²]∣<0,sinθ>dθ

=∫<0,π>[(1/3)sin³θ(cosθ+sinθ)+(1/2)sin²θ]dθ

=(1/3)[∫(sin³θcosθ+sin^(4)θ]dθ+(1/2)∫[(1-cos2θ)/2]dθ【积分限<0,π>】

=(1/3)[∫sin³θd(sinθ)+(1/4)∫(1-cos2θ)²dθ]+(1/4)∫(1-cos2θ)dθ    【积分限<0,π>】 

=(1/3)[(1/4)(sinθ)^4+(1/4)∫(1-2cos2θ+cos²2θ)dθ]+(1/4)[θ-(1/2)sin2θ]【<0,π>】

=(1/12)[θ-sin2θ+(1/2)∫(1+cos4θ)dθ]+(π/4)  【<0,π>】

=(1/12){θ-sin2θ+(1/2)[θ+(1/4)sin4θ]}+(π/4)  【<0,π>】

=(1/12)[π+(1/2)π]+π/4=(π/8)+(π/4)=(3/8)π;