Question

已知数列{an}中，a1=2，a2=3，其前n项和Sn满足S...

已知数列{an}中，a1=2，a2=3，其前n项和Sn满足Sn+1+Sn-1=2Sn+1，其中n≥2，n∈N*． （1）求证：数列{an}为等差数列，并求其通项公式； （2）设bn=an•2-n，Tn为数列{bn}的前n项和，求使Tn＞2的n的取值范围． （3）设cn=4n+(-1)n-1λ•2an(λ为非零整数，n∈N*），试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有cn+1＞cn成立．

Answer 1

（1）证明：由已知，（Sn+1-Sn）-（Sn-Sn-1）=1（n≥2，n∈N*），…（2分）
即an+1-an=1（n≥2，n∈N*），且a2-a1=1．
∴数列{an}是以a1=2为首项，公差为1的等差数列．
∴an=n+1．…（4分）
（2）解：∵an=n+1，∴bn=(n+1)•12n
∴Tn=2×12+3×122+…+n•12n-1+(n+1)•12n…(1)
∴12Tn=2×122+3×123+…+n•12n+(n+1)•12n+1…(2)
(1)-(2)：12Tn=1+122+123+…+12n-(n+1)•12n+1
∴Tn=3-n+32n…（6分）
代入不等式得：3-n+32n＞2，∴n+32n-1＜0
设f(n)=n+32n-1，∴f(n+1)-f(n)=-n+22n+1＜0
∴f（n）在N+上单调递减，…（8分）
∵f(1)=1＞0，f(2)=14＞0，f(3)=-14＜0，
∴当n=1，n=2时，f（n）＞0，当n≥3时，f（n）＜0，
所以n的取值范围为n≥3，且n∈N*…（10分）
（3）解：∵an=n+1，∴cn=4n+(-1)n-1λ2n+1，
要使cn+1＞cn恒成立，即cn+1-cn=4n+1-4n+(-1)nλ2n+2-(-1)n-1λ2n+1＞0恒成立，
∴3×4n-3（-1）n-1λ2n+1＞0恒成立，∴（-1）n-1λ＜2n-1恒成立，…（12分）
（i）当n为奇数时，即λ＜2n-1恒成立，当且仅当n=1时，2n-1有最小值为1，∴λ＜1．
（ii）当n为偶数时，即λ＞-2n-1恒成立，当且仅当n=2时，-2n-1有最大值-2，∴λ＞-2．
∴-2＜λ＜1，又λ为非零整数，则λ=-1．…（15分）
综上所述：存在λ=-1，使得对任意的n∈N*，都有cn+1＞cn．…（16分）