定积分和积分变量无关，但是为什么积分换元的时候要变限呢？不是说和积分变量无关吗？
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定积分和积分变量无关是指 ∫<a, b> f(u)du = ∫<a, b> f(x)dx
积分变量由 u 变为 x， 但被积函数 f(u) 写为 f(x) 并未改变。
积分换元是改变了被积函数的， 故积分限要对应变换。
例如， 令 x = Rsint
∫<0, R> √(R^2-x^2)dx = R^2∫<0, π/2> [(cost)^2]dt
= (1/2)R^2∫<0, π/2> (1+cos2t)dt
= (1/2)R^2[t+(1/2)sin2t]<0, π/2> = (π/4)R^2
还可以再作 t = x 的换元， 但此例不是·非常必要。
(1/2)R^2∫<0, π/2> (1+cos2t)dt = (1/2)R^2∫<0, π/2> (1+cos2x)dx
= (1/2)R^2[x+(1/2)sin2x]<0, π/2> = (π/4)R^2
此时的 x 只是换了积分变量而已， 与 原来的 x 并不相同。
再作 t = x 的换元， 多用于合并两个及以上定积分， 或证明题中。
积分变量由 u 变为 x， 但被积函数 f(u) 写为 f(x) 并未改变。
积分换元是改变了被积函数的， 故积分限要对应变换。
例如， 令 x = Rsint
∫<0, R> √(R^2-x^2)dx = R^2∫<0, π/2> [(cost)^2]dt
= (1/2)R^2∫<0, π/2> (1+cos2t)dt
= (1/2)R^2[t+(1/2)sin2t]<0, π/2> = (π/4)R^2
还可以再作 t = x 的换元， 但此例不是·非常必要。
(1/2)R^2∫<0, π/2> (1+cos2t)dt = (1/2)R^2∫<0, π/2> (1+cos2x)dx
= (1/2)R^2[x+(1/2)sin2x]<0, π/2> = (π/4)R^2
此时的 x 只是换了积分变量而已， 与 原来的 x 并不相同。
再作 t = x 的换元， 多用于合并两个及以上定积分， 或证明题中。
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追问
请问 此时可以再进行令t=x的换元吗？我看题目经常进行这样的二次代换，但是t不就即等于Rsint又等于t了吗？我就是这个地方搞不懂，哭哭！
追答
还可以再作 t = x 的换元， 但此例不是·非常必要。
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