Question

一道高数极限题，求大神帮忙看看哪里错了

为什么这样算是错的 想了很久想不懂 救救

Answer 1

错在把[(1+1/x)^x]^x=[e^x]^x这一步

虽然lim(x→∞) (1+1/x)^x=e，但是这里是底数，而且指数是变量，这种情况下是不能直接代入的。可以这样理解，底数趋于e，但是不等于e，假设是e+0.0001，可是(e+0.0001)^∞远远大于e^∞(可以参考1.0001^∞），因此这里是不能直接代换的。

在做题的时候，就要注意，除了乘除法，可以对因式直接使用等价无穷小或者等价无穷大替换，其他时候都不要这样做，要考虑其他的化简方法。

这道题的解法如下图所示

追问

我觉得你的那段解释很赞 但lim（x无穷）（1+x/1）^x=e吧，你那里好像写错了，然后我就没怎么看懂，可以再解释一下吗，为什么不能底数直接带入e，求求了🥺🥺

追答

原来的回答确实有两个小错误，主要是敲键盘的时候有时候手跟不上脑子，现在改过来了。
再换一个表达方式解释一下，实际的底数应该是e加上（或者减去）一个非常小的误差α（α→0），就是说，实际值是(e+α)^x，很显然，当x无穷大的时候，(e+α)^x不等于e^x，因此不能直接带入e
但是如果指数不是x，而是任何一个常数c，这个指数不是无穷大了，(e+α)^c就和e^c等价（可以自己作除法验证，极限等于1），就可以直接带入e替换。这也就是我说的，只有乘除法，能对其中的因式作等价替换

追问

太棒了！完美解答了我的问题

Answer 2

第二步至第三步错了，光是中括号里面可以直接计算极限等于1，但是中括号外面还有一个x次方，要一起计算极限才行。

追问

那个中括号那里不能理解为复合函数求极限的那种情况吗

追答

就算可以理解，也得一起求，不是只求中括号里面的

追问

我好像明白了，我这样做就是只求了底数的极限然后整体没求就和分母消掉了，必须要把整体求了才能进行下一步吗

追答

应该是这样

Answer 3

求极限具有同时性，不能这样先求出一部分，而是要整体来求。

Answer 4

过相当多的人，对这个前提条件不记得，认为这个公式可以想怎么用，就怎么用。这个公式成立的前提条件就是 li

Answer 5

我总感觉你第一步就错了。这是我的直觉。

追问

啊这 没有吧 不就是把-1提出来变成分数了吗

追答

因为我也不会，对不起。

追问

好的

没事