等比数列前n项和公式到底怎样推导的?

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2022-09-09 · 说的都是干货,快来关注
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等比数列前n项和公式:Sn =a1(1-q^n)/(1-q)。




推导如下:




因为an = a1q^(n-1)




所以baiSn = a1+a1*q^1+...+a1*q^(n-1)  (1)




qSn =a1*q^1+a1q^2+...+a1*q^n  (2)




(1)-(2)注意(1)式的第一项不变。




把(1)式的第二项减去(2)式的第一项。




把春丛(1)式的第三项减去(2)式的第二项。




以此类推,把(1)式的第n项减去(2)式的和森轿第n-1项。




(2)式的第n项不变,这叫错位相减,其目的就是消去这此公共项。




于是得到




(1-q)Sn = a1(1-q^n)




即Sn =a1(1-q^n)/(1-q)。




扩展资料:



(1)若m、n、p、q∈N+,且m+n=p+q,则am×an=ap×aq。

(2)在等比数列中,依次每k项之和仍成等比数列。

(3)若“G是a、b的等比中项”则“G2=ab(G≠0)”。

等比数列在生活中常常运用,如:银行有一种支付利息的方式——复利。即把前一期的利息和本金加在一唤肆起算作本金,在计算下一期的利息,也就是人们通常说的“利滚利”。按照复利计算本利和的公式:本利和=本金×(1+利率)^存期。

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