Question

求Y＝5根号下（4＋X＾2）－3X的最小值

Answer 1

二楼的解法是错的!
求Y＝5√(4＋X^2)-3X的最小值.
①当X≤0时,则有-3X≥0,X^2≥0,所以有
Y＝5√(4＋X^2)-3X≥5√(4＋X^2)≥5√(4＋0)=10
等号当且仅当X=0时成立,所以在X≤0时,Y有最小值为10；
②当X>0时,可知3X=√(9X^2),所以
Y＝5√(4＋X^2)-3X
=√(100+25X^2)-√(9X^2)>0
可知Y>0,所以上式移项得
5√(4＋X^2)=Y+3X
两边同时平方,得
100+25X^2=Y^2+6XY+9X^2
16X^2-6Y*X+100-Y^2=0
把上式看作关于X的一元二次方程,因为X是实数,意即该方程有实数解,所以其判别式必须大于或等于0,即
△=(-6Y)^2-4*16*(100-Y^2)≥0
36Y^2-6400+64Y^2≥0
100Y^2≥6400
Y^2≥64
因Y>0,所以Y≥8,则Y的最小值为8,代入方程求得X=3/2,
综上知,当X=3/2时,Y＝5√(4＋X^2)-3X的最小值为8.