Question

4.椭圆mx²+ny²=1与直线x+y-1=0相交于A与B两点,过AB的中点M与坐标原点的

4.椭圆mx²+ny²=1与直线x+y-1=0相交于A与B两点，过AB的中点M与坐标原点的直线斜率为√2/2，则m/n的值为————

Answer 1

解：设A(x1,y1)B(x2,y2)
∵mx²+ny²=1，∴m>0且n>0，∴m+n>0
联立椭圆和直线得：mx²+n(1-x)²=1，即(m+n)x²-2nx+n-1=0
则x1+x2=2n/(m+n)，则y1+y2=(1-x1)+(1-x2)=2-(x1+x2)=2m/(m+n)
M的坐标为((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)，即M(n/(m+n),m/(m+n))
则OM的斜率为[m/(m+n)]/[n/(m+n)]=m/n=√2/2
即m/n=√2/2

Answer 2

y=-x+1
所以(m+n)x²-2nx+n-1=0
x1+x2=2n/(m+n)
y=-x+1
y1+y2=-(x1+x2)+2=2m/(m+n)
斜率=y/x=√2/2
而x=(x1+x2)/2,y=(y1+y2)/2
所以√2/2=-n/m
所以m/n=-√2