Question

应用拉格朗日中值定理证明|arctanx-arctany|<=|x-y|

Answer 1

当x<y时，由中值定理知存在c属于区间(x，y)，

使得arctan '(c)=(arctany-arctanx)/(y-x)。 

而arctan '(c)=1/(1+c^2)<1，

则可得)=|arctany-arctanx|<|y-x|。 

当x>y时，同理可得。
当x=y时，显然等号成立。 

综上可证|arctanx-arctany|小于等于|x-y|。

设f(a) = arctan(a)，f'(a) = 1/(1 + a²)
f(a)

在(x，y)连续可导，根据拉格朗日中值定理，

| arctanx - arctany | = 1/(1 + c²) * | x - y | < | x - y |，c∈(x，y) 

当a = b = 0时arctanx = arctany = 0

∴
| arctanx - arctany | ≤ | x - y |