应用拉格朗日中值定理证明|arctanx-arctany|<=|x-y|
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当x<y时,由中值定理知存在c属于区间(x,y),
使得arctan '(c)=(arctany-arctanx)/(y-x)。
而arctan '(c)=1/(1+c^2)<1,
则可得)=|arctany-arctanx|<|y-x|。
当x>y时,同理可得。
当x=y时,显然等号成立。
综上可证|arctanx-arctany|小于等于|x-y|。
设f(a) = arctan(a),f'(a) = 1/(1 + a²)
f(a)
在(x,y)连续可导,根据拉格朗日中值定理,
| arctanx - arctany | = 1/(1 + c²) * | x - y | < | x - y |,c∈(x,y)
当a = b = 0时arctanx = arctany = 0
∴
| arctanx - arctany | ≤ | x - y |
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