Question

设x为n维列向量，且xTx=1，令H=E-2xxT，求证H是对称正交矩阵。

Answer 1

证明过程如下：

HT=(E-2xxT)=E-2(xT)TxT=E-2xxT=H

所以H是对称阵

因为HTH=(E-2xxT)(E-2xxT)=E-4xxT+4xxTxxT

根据集合律

=E-4xxT+4x(xTx)xT

=E

所以HT=H^(-1)

即H是正交矩阵

综上，H是对称正交矩阵

扩展资料

在矩阵论中，实数正交矩阵是方块矩阵Q，它的转置矩阵是它的逆矩阵，如果正交矩阵的行列式为+1，则称之为特殊正交矩阵。

1.方阵A正交的充要条件是A的行（列）向量组是单位正交向量组；

2.方阵A正交的充要条件是A的n个行（列）向量是n维向量空间的一组标准正交基；

3.A是正交矩阵的充要条件是：A的行向量组两两正交且都是单位向量；

4.A的列向量组也是正交单位向量组。

5.正交方阵是欧氏空间中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵。