设x为n维列向量,且xTx=1,令H=E-2xxT,求证H是对称正交矩阵。

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刺任芹O
2022-11-17 · TA获得超过6.1万个赞
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证明过程如下:

HT=(E-2xxT)=E-2(xT)TxT=E-2xxT=H

所以H是对称阵

因为HTH=(E-2xxT)(E-2xxT)=E-4xxT+4xxTxxT

根据集合律

=E-4xxT+4x(xTx)xT

=E

所以HT=H^(-1)

即H是正交矩阵

综上,H是对称正交矩阵

扩展资料

在矩阵论中,实数正交矩阵是方块矩阵Q,它的转置矩阵是它的逆矩阵,如果正交矩阵的行列式为+1,则称之为特殊正交矩阵。

1.方阵A正交的充要条件是A的行(列)向量组是单位正交向量组;

2.方阵A正交的充要条件是A的n个行(列)向量是n维向量空间的一组标准正交基;

3.A是正交矩阵的充要条件是:A的行向量组两两正交且都是单位向量;

4.A的列向量组也是正交单位向量组。

5.正交方阵是欧氏空间中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵。

Sievers分析仪
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