Question

如何求函数值域？（方法）

Answer 1

1．观察法
用于简单的解析式。
y＝1－√x≤1,值域(－∞, 1]
y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1,值域(－∞,-1)∪(-1,＋∞).
2.配方法
多用于二次(型)函数。
y＝x^2-4x+3=(x-2)^2-1≥-1,值域[-1, ＋∞）
y=e^2x-4e^x-3=(e^x-2)^2-7≥-7,值域[-7,＋∞）
3. 换元法
多用于复合型函数。
通过换元，使高次函数低次化，分式函数整式化，无理函数有理化，超越函数代数以方便求值域。
特别注意中间变量（新量）的变化范围。
4. 不等式法
用不等式的基本性质，也是求值域的常用方法。
y=（e^x+1）/(e^x-1), (0<x<1).
0<x<1,
1<e^x<e, 0<e^x-1<e-1,
1/(e^x-1)>1/(e-1),
y=1+2/(e^x-1)>1+2/(e-1).值域(1+2/(e-1),＋∞).
5. 最值法
如果函数f(x)存在最大值M和最小值m.那么值域为[m,M].
因此,求值域的方法与求最值的方法是相通的.
6. 反函数法
有的又叫反解法.
函数和它的反函数的定义域与值域互换.
如果一个函数的值域不易求,而它的反函数的定义域易求.那么,我们通过求后者而得出前者.
7. 单调性法
若f(x)在定义域[a, b]上是增函数,则值域为[f(a), f(b)].减函数则值域为[f(b),f(a)]

Answer 2

1．观察法
用于简单的解析式。
y＝1－√x≤1,值域(－∞, 1]
y=(1 x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1,值域(－∞,-1)∪(-1,＋∞).
2.配方法
多用于二次(型)函数。
y＝x^2-4x 3=(x-2)^2-1≥-1,值域[-1, ＋∞）
y=e^2x-4e^x-3=(e^x-2)^2-7≥-7,值域[-7,＋∞）
3. 换元法
多用于复合型函数。
通过换元，使高次函数低次化，分式函数整式化，无理函数有理化，超越函数代数以方便求值域。
特别注意中间变量（新量）的变化范围。
4. 不等式法
用不等式的基本性质，也是求值域的常用方法。
y=（e^x 1）/(e^x-1), (0<x<1).
0<x<1,
1<e^x<e, 0<e^x-1<e-1,
1/(e^x-1)>1/(e-1),
y=1 2/(e^x-1)>1 2/(e-1).值域(1 2/(e-1),＋∞).
5. 最值法
如果函数f(x)存在最大值M和最小值m.那么值域为[m,M].
因此,求值域的方法与求最值的方法是相通的.
6. 反函数法
有的又叫反解法.
函数和它的反函数的定义域与值域互换.
如果一个函数的值域不易求,而它的反函数的定义域易求.那么,我们通过求后者而得出前者.
7. 单调性法
若f(x)在定义域[a, b]上是增函数,则值域为[f(a), f(b)].减函数则值域为[f(b),f(a)]

Answer 3

求函数值域的几种常见方法
1．直接法：利用常见函数的值域来求
一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；
反比例函数的定义域为{x|x0}，值域为{y|y0}；
二次函数的定义域为R，
当a>0时，值域为{}；当a<0时，值域为{}.
例1．求下列函数的值域
①y=3x+2(-1x1)②③④
解：①∵-1x1，∴-33x3，
∴-13x+25，即-1y5，∴值域是[-1，5]
②∵∴
即函数的值域是{y|y2}
③
④当x>0，∴=，
当x<0时，=－
∴值域是[2，+).（此法也称为配方法）
函数的图像为：
2．二次函数比区间上的值域(最值)：
例2求下列函数的最大值、最小值与值域：
①；
解：∵，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.
①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，
∴x=2时，ymin=-3,无最大值；函数的值域是{y|y-3}.
②∵顶点横坐标2[3,4]，
当x=3时，y=-2；x=4时，y=1；
∴在[3,4]上，=-2，=1；值域为[-2，1].
③∵顶点横坐标2[0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,
∴在[0,1]上，=-2，=1；值域为[-2，1].
④∵顶点横坐标2[0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3,x=5时，y=6,
∴在[0,1]上，=-3，=6；值域为[-3，6].
注：对于二次函数,
⑴若定义域为R时，
①当a>0时，则当时，其最小值；
②当a<0时，则当时，其最大值.
⑵若定义域为x[a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].
①若[a,b],则是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较的大小决定函数的最大（小）值.
②若[a,b],则[a,b]是在的单调区间内，只需比较的大小即可决定函数的最大（小）值.
注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；
②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.
3．判别式法（△法）：
判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论
例3．求函数的值域
方法一：去分母得(y-1)+(y+5)x-6y-6=0①
当y11时∵x?R∴△=(y+5)+4(y-1)×6(y+1)0
由此得(5y+1)0
检验时（代入①求根）
∵2?定义域{x|x12且x13}∴
再检验y=1代入①求得x=2∴y11
综上所述，函数的值域为{y|y11且y1}
方法二：把已知函数化为函数(x12)
∵x=2时即
说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法.判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.
4．换元法
例4．求函数的值域
解：设则t0x=1-
代入得
5．分段函数
例5．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.
解法1：将函数化为分段函数形式：，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y3}.
解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+].如图
两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法.
说明：以上是求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法.
三、练习：
1；
解：∵x0，，∴y11.
另外，此题利用基本不等式解更简捷：
2
∵2-4x+3>0恒成立(为什么？)，
∴函数的定义域为R，
∴原函数可化为2y-4yx+3y-5=0，由判别式0，
即16-4×2y(3y-5)=-8+40y0(y0),
解得0y5，又∵y0,∴0注意：利用判别式法要考察两端点的值是否可以取到.
3求函数的值域
①；②
解：①令0,则,
原式可化为,
∵u0，∴y，∴函数的值域是（-，].
②解：令t=4x-0得0x4
在此区间内(4x-)=4，(4x-)=0
∴函数的值域是{y|0y2}
小结:求函数值域的基本方法（直接法、换元法、判别式法）；二次函数值域（最值）或二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法.
作业：求函数y=值域
解：∵，
∴函数的定义域R，原式可化为,
整理得，
若y=1,即2x=0,则x=0；
若y1,∵R，即有0，
∴,解得且y1.
综上：函数是值域是{y|}.

Answer 4

图像法，换元法