Question

过双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的左焦点且垂直于X轴的直线与双曲线相交与M,N两点,以MN为直径的圆

过双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的左焦点且垂直于X轴的直线与双曲线相交于M,N两点,以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，求此双曲线的离心率

Answer 1

设双曲线左焦点F(-c,0) ,M(-c, y1), N(-c, -y1) ,(y1 >0)
∵点M(-c, y1)在双曲线上
∴ (-c)²/a² - (y1)²/b² = 1
∴ y1 = b² /a
∴FM = b² /a ,
又∵FM = c + a
∴ b² /a =c + a
∴ (c² - a² ) /a =c + a
两边同除以a，得
c/a = 2
即 离心率 e = 2