如图,E是矩形ABCD边CB延长线上一点,CE＝CA,F是AE的中点． 求证：BF⊥FD
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证明：延长DF与CE的延长线相交于点G
因为四边形ABCD是矩形
所以CA=BD
AD=BC
AD平行BC
所以角FAD=角FEG
角FDA=角G
因为F是AE的中点
所以AF=EF
所以三角形AFD和三角形EFG全等（AAS)
所以DF=GF
AD=GE
因为BG=GE+BE=AD+BE
因为CE=BC+BE=AD+BE
所以BG=CE
因为CA=CE=BD
所以BG=DF
所以三角形BDG是等腰三角形
因为DF=GF
所以BF是等腰三角形BDG的中线
所以BF是等腰三角形BDG的垂线(等腰三角形三线合一）
所以BF垂直FD
因为四边形ABCD是矩形
所以CA=BD
AD=BC
AD平行BC
所以角FAD=角FEG
角FDA=角G
因为F是AE的中点
所以AF=EF
所以三角形AFD和三角形EFG全等（AAS)
所以DF=GF
AD=GE
因为BG=GE+BE=AD+BE
因为CE=BC+BE=AD+BE
所以BG=CE
因为CA=CE=BD
所以BG=DF
所以三角形BDG是等腰三角形
因为DF=GF
所以BF是等腰三角形BDG的中线
所以BF是等腰三角形BDG的垂线(等腰三角形三线合一）
所以BF垂直FD
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创远信科
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