Question

为什么用不同特征值正交求特征向量

Answer 1

为什么用不同特征值正交求特征向量？答:因为用不同特征值正交求特征向量:如果你观察地够仔细你会发现:所谓的"用特征向量正交这一性质求其他向量"只存在于当特征值存在重根时。

这是因为此时你根据这条性质列方程组时能够解出其余的向量。
例如你的第一题列出方程组：
x1+x2+x3=0
y1+y2+y3=0

而无重根时，当然也可以列出方程组的，只不过与上式相比，多了x1y1+x2y2+x3y3=0这项。
因为此时无重根，需满足任意两个向量都正交。所以此时不用这个性质求解特征向量。

所以简单来讲"只有在有重根时方可使用此性质求解"这个说法是可以的。

Answer 2

实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，那计算的时候为什么相同的特征值之间也要用正交呢？
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天下无难课
只要线性代数俗话说
对于实对称矩阵，其不同的特征方向是正交的，取自不同特征方向上的特征向量之间自然是正交的。对于y=Ax的表达式，如果x的取向与特征方向同(或反)，则y也必与特征方向同(或反)，这时无论是x还是y，都是这个 特征方向上的特征向量，它们共线。

特征值是啥？特征值只不过是同一个特征方向上，一个x与Ax计算而得的y之间的比值，λ=y/x。λ为正，意味着y与x同向，λ为负，意味着y与x反向。在一般情况下，y/x是不能算的，唯有在矩阵的特征方向上，y与x居然可以做除法了。

如果根据特征方程计算所得的特征值有重根，这只意味着在不同的特征方向上，由y/x得到的λ在数值上一样而已，它并不意味着这两个特征方向就指向一个方向了，在这两个有同样特征值的不同的 特征方向上取到的特征向量，它们之间还是不同向的，在实对称矩阵这里，它们还是正交的，与不同的特征值(自然对应不同的特征方向)下的特征向量之间是正交的是一回事。