Question

关于高一数学函数单调性的新颖题型与解析

Answer 1

若函数f(x)=a|x-b|+2
在[0，正无穷大）上为增函数，则实数a、b的取值范围是
当a＜0时，函数f(x)=a|x-b|+2在正实轴方向的某点起的区间[b,+∞）上为减函数了。
所以符合题意的只能是a＞0，而此时函数f(x)=a|x-b|+2在[b,+∞）为增函数，所以符合题意的只能是b≤0。
【结论】a＞0，b≤0。

.已知f(x)=[10^x-10^(-x)]/[10^x-10^(-x)]
证明f(x)是定义域内的增函数
证明：f(x)上下乘10^x
f(x)=(10^2x-1)/(10^2x+1)=(10^2x+1-2)/(10^2x+1)
=(10^2x+1)/(10^2x+1)-2/(10^2x+1)
=1-2/(10^2x+1)
因为10^2x>0,所以分母不为0
所以定义域是R
令a>b
则f(a)-f(b)=1-2/(10^2a+1)-1+2/(10^2b+1)
=2[(10^2a+1)-(10^2b+1)]/(10^2a+1)(10^2b+1)
分母显然大于0
(10^2a+1)-(10^2b+1)=10^2a-10^2b
a>b,2a>2b
所以10^2a-10^2b>0
所以2[(10^2a+1)-(10^2b+1)]/(10^2a+1)(10^2b+1)>0
即a>b时
f(a)>f(b)
所以f(x)是定义域内的增函数

已知函数f(x)=2^x+2^(-x)a（常数a∈R）
若a≤4，求证f(x)在[1，+∞)上是增函数
证明：（定义法）设1≤x1则f(x1)-f(x2)=(2^x1-2^x2)(1-a/(2^(x1+x2)))
∵1≤x1∴2≤x1+x2
也就有
2^(x1+x2)≥4
若a则1-a/(2^(x1+x2))≥0
又(2^x1-2^x2)∴f(x1)-f(x2)=(2^x1-2^x2)(1-a/(2^(x1+x2)))≤0
f(x1)≤f(x2)
∴当a