Question

一道高2的数学题。。。

正方体A1B1C1D1-ABCD(图形上面是A1B1C1D1,下面是ABCD）中，AC1交平面A1BD于G，（1）若向量AG=X*向量AC1，求X的值（2）求证G为三角形A1BD的重心

Answer 1

解：结合图
BD⊥AC，BD⊥CC1==》BD⊥AC1，AC1⊥BD
A1D⊥AD1，AD1⊥C1D1==》A1D⊥AC1，AC1⊥A1D
所以AC1⊥面A1BD
设边长为a
V-A1-ABD=1/3*a^3
V-A-A1BD=1/3*√2a*√2a|AG|*sin60
所以h=√3a/3
而AC1=√3a
向量AG=X*向量AC1
X=1/3
因AB=AD=AA1
AG⊥面A1BD,三角形A1BD是等边三角形
所以G点为三角形A1BD的重心

Answer 2

解：(1)X=1/3 (2)因为A1B=A1D=BD所以三角形A1BD是等边三角形，那么连接AC,则有AC与BD交于一点为E，连接A1E，建立直角坐标系则可以算出向量A1G=2/3A1E。所以G点为三角形A1BD的重心