Question

二元函数的极值与条件极值的几何意义是什么？若二元函数无极值，是否一定无条件极值？举例说明。

还有一个问题，二元函数的驻点不一定是极值点吗？求例子。

Answer 1

二元函数的极值的几何意义是：如果函数f的图形在极大值点或极小值点有一个切平面，则切平面必为水平。
条件极值的几何意义要结合函数f和限定条件才好确定，我手上现在的一本教材上面给了这样一个例子，z=x^2+2y^2在限制条件x^2+y^2=1下的极值，前者是抛物面，后者是在xy平面的一个圆，想象一个过圆的圆柱与抛物面相交得出一条曲线，此曲线的最高点和最低点即为条件极值点。
关于二元函数的驻点不是极值点一个例子是双曲抛物面的鞍点，函数为z=y^2-x^2，呈马鞍状，沿着x轴方向（y=0)，（0，0）点为极大值点，沿着y轴方向恰好相反为极小值点。
用上面这个函数在限定条件x^2+y^2=1下，可以求得条件极值。

Answer 2

二元函数极值，
就是在给定的定义区域内（通畅是一块儿或大或小的面积）上，每个定义域的点(x,y)对应一个函数值f(x,y)。这些所有的(x,y)的函数值放在一起成为一个值域集合，求这个集合内元素的最大值或者最小值，叫做函数极值

当给定的定义区域是整个f(x,y)的定义域的时候，值域集合取到所有值，所以极值就变成了最值。

条件极值就是给定某个条件，
比如说，(x,y)在单位圆内，这是对定义域进行限制。
再比如说，求f(x,y)^2+2f(x,y)-1这相当于偷偷的换成了g(x,y)，也可以把它归到一般的极值问题。

至于你说的无极值就无条件极值，是错的，
因为极值是针对f(x,y)的，
条件极值可以改变目标函数，如我上面那个例子变成了g(x,y)，这样就是新的问题了。
所以不一定。