Question

在求二元函数极值和最值时，特别是在闭区域内，什么时候构造拉格朗日函数？什么时候不用？？

在求二元函数极值和最值时，特别是在闭区域内，什么时候构造拉格朗日函数？什么时候不用？？我看了两个题目，这两个题目有的构造了拉格朗日函数，有的没构造，怎么区分？

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Answer 1

注意书上说的：除了（限制在函数定义域）以外，并无其他条件。
小于1符合 限制在函数定义域 所以为无条件极值
而等于1显然限制一个或者几个点 也就是不符合。

Answer 2

拉格朗日乘子法用于解决有限制条件的极值问题

追问

答非所问

追答

求边界处的极值时，相当于有限制条件，所以用拉格朗日乘子法

求区域内部的最值就不需要了

追问

你好好对比一下这两个题目

追答

第一题边界的区域比较简单，求边界的取值完全可以用初等的方法解决，所以答案没有用拉格朗日乘子法，当然如果没想到用拉格朗日乘子法也没问题；当然其实第二题边界的最值也可以用初等方法解决。

追问

好吧

追答

其实两个问题本质没有什么不同的

追问

我好久都没学这个了，忘了都

还是没彻底明白

追答

求给定条件下极值问题，除了用拉格朗日乘子法，有时候还可以用基本不等式，消元化为一元函数等高中数学的方法解决。这里面第一题就是用高中数学的方法解决的。

这两个题目都是求二元函数在一个闭区域的极值，本质上方法是一样的，即先求内部的极值后求边界的极值。不过求边界极值的时候，如果可以用中学的方法做，用拉格朗日乘子法就有点杀鸡用牛刀了，所以第一小题就用了中学的方法

追问

好吧(∩_∩)