Question

度量空间和线性空间的区别

Answer 1

度量空间和线性空间的区别如下：

1、线性空间=向量空间！！这两个概念是等价的。线性空间就是定义了加法和数乘运算、且满足上述八条运算规律的非空集合。

常见的线性空间有：实数域R；全体n维向量(x1,x2,...,xn)T构成的n维空间Rn（实线性空间）或Cn(复线性空间）；实数域上所有m×n矩阵按照矩阵加法和数与矩阵的乘法构成的线性空间Rm×n等。

2、度量空间亦称距离空间，在数学中是指一个集合，并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的。

在一维、二维、三维线性空间中，“距离”的概念都是很直观的，但是再往更高维度线性空间或者非线性空间扩展，物理意义上“距离”的定义显然不适用了，因此我们可以采用更抽象的方式定义“距离”和“距离空间（度量空间）”。

3、线性空间中仅定义了线性运算（加法和数乘），之后，我们可以引入“距离”的概念，使得向量具有了“模（长度）”的特征。如果我们进一步定义了内积（也称为点积或标量基），将一对矢量与一个纯量连接起来，那就相当于我们在这个空间中引入了“夹角”的概念，并可以进一步谈论矢量的正交、投影等。