∫dx/xlnx(1-lnx)求不定积分 5
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上海森璞
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可以通过换元法来求解。
令 u = ln x，那么 du/dx = 1/x，dx = e^u du。
将 x 表示为 u 的函数，原式变为：
∫(e^u du) / (u - u^2) = ∫(1/u du) / (1 - u) - (∫1/(1 - u) du)
对于第一个积分，可以使用部分分式分解：
1/(u - u^2) = A/(u-1) + B/u
解得 A = -1，B = 1，代入得到：
∫(1/u du) / (1 - u) = ∫(1/(u-1) - 1/u) du = ln|u-1| - ln|u| + C1
对于第二个积分，直接积分得到：
-∫(1/(1-u) du) = ln|1-u| + C2
将上述结果代入原式，得到：
∫dx/xlnx(1-lnx) = ln|ln x - 1| + ln|ln x| - ln|1-ln x| + C
其中 C = C1 + C2 为积分常数。
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let
u= lnx
∫dx/[xlnx.(1-lnx)]
=∫dlnx/[lnx.(1-lnx)]
=∫du/[u(1-u)]
=∫[1/u + 1/(1-u)] du
=ln|u/(1-u)| +C
=ln|lnx/(1-lnx)| +C
u= lnx
∫dx/[xlnx.(1-lnx)]
=∫dlnx/[lnx.(1-lnx)]
=∫du/[u(1-u)]
=∫[1/u + 1/(1-u)] du
=ln|u/(1-u)| +C
=ln|lnx/(1-lnx)| +C
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